notes de maman et premiere partie clean
authorPaul Kocialkowski <contact@paulk.fr>
Sat, 9 May 2015 18:26:44 +0000 (20:26 +0200)
committerPaul Kocialkowski <contact@paulk.fr>
Sat, 9 May 2015 18:27:07 +0000 (20:27 +0200)
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index 42d7e67..3dda805 100644 (file)
@@ -33,9 +33,9 @@
 \chapter{Électronique}
 
 \begin{figure}[!h]
-\includegraphics[width=\linewidth]{multivibrateur.jpg}
+\includegraphics[width=\linewidth]{multivibrateur-photo.jpg}
 \caption{Multivibrateur astable monté sur une platine d'expérimentation}
-\label{mv_photo}
+\label{multivibrateur-photo}
 \end{figure}\\
 
 \begin{figure}[!h]
@@ -69,7 +69,7 @@
 \centering
 \includegraphics[width=\linewidth]{chronogramme-compteur-bouton.png}
 \caption{Chronogramme des rebonds du bouton poussoir (relevés en $H, \overline{H}, Q, \overline{Q}, D_0, \overline{D_0}$)}
-\label{chronogramme-compteur}
+\label{chronogramme-compteur-bouton}
 \end{figure}
 
 \begin{figure}[h]
index 9a1b4f1..81f7b1c 100644 (file)
@@ -5,7 +5,7 @@ On s'intéresse particulièrement aux interactions entre les montages électroni
 \section{Concepts et définitions}
 \subsection{Systèmes logiques}
 \label{systemes-logiques}
-Dans les systèmes électroniques logiques, l'information est représentée par des grandeurs électriques prend la forme de valeurs discrètes\notecitepage{Tocci}{4}. On définit alors deux états en chaque point du circuit, correspondants à la présence de la grandeur considérée (une tension, un courant) : c'est l'état logique \emph{haut} ou en son absence : l'état logique \emph{bas}.\\
+Dans les systèmes électroniques logiques, l'information est représentée par des grandeurs électriques prenant la forme de valeurs discrètes\notecitepage{Tocci}{4}. On définit alors deux états en chaque point du circuit, correspondants à la présence de la grandeur considérée (une tension, un courant) : c'est l'état logique \emph{haut} ou en son absence : l'état logique \emph{bas}.\\
 
 On parle de système \emph{analogique} (par opposition à système logique) lorsque les grandeurs représentant l'information varient de manière continue (une infinité de valeurs est possible).\\
 Pourtant, il n'y a pas de différence fondamentale du point de vue électrique entre un système logique et un système analogique : c'est bien l'interprétation que l'on porte aux différents états possibles qui donne sens à l'information.\\
@@ -247,11 +247,11 @@ Cependant, on peut directement simplifier le montage avant de le réaliser : la
 
 Dans un premier temps, le circuit a été mis en œuvre en réalisant les portes logiques à l'aide de composants électroniques fondamentaux tels que les résistances, diodes et transistors (on parle de logique DTL\footnote{Diode-Transistor Logic en Anglais, ou logique diode-transistor en Français}). Vu la quantité de composants nécessaires et la place requise, seul l'étage d'addition du bit $D_0$ a été réalisé, qui permet de valider la solution de synchronisation. Par ailleurs, cette expérience a été réalisée alors qu'aucun circuit de génération d'horloge n'était disponible : l'horloge a donc été émulée par un bouton poussoir relié à un état logique haut. La sortie est représentée par une LED, allumée pour signifier un état haut et éteinte pour un état bas. Une photographie du montage réalisé est reportée en annexe \ref{compteur-experimental}.\\
 
-Les premiers résultats indiquent que le circuit se comporte comme prévu, mais présente sporadiquement une anomalie : la LED clignote très rapidement au relâchement du bouton et indique l'état inverse à l'état attendu. Afin d'étudier le problème, on utilise un analyseur logique qui va enregistrer l'état de plusieurs points du circuit ($H, \overline{H}, Q,\overline{Q}, D_0, \overline{D_0}$)\footnote{$Q$ représente la sortie de la première bascule du circuit de synchronisation.} à une fréquence maximum de $24$ MHz. On effectue la capture en utilisant le logiciel \bsc{PulseView}, faisant partie de la suite d'outils libres Sigrok. Le chronogramme obtenu est reporté en annexe \ref{chronogramme-compteur} et on y observe l'anomalie après $1800$ ms. Un agrandissement de la zone en question, reporté en annexe \ref{chronogramme-compteur-bouton} permet de constater de très rapides oscillations du signal d'horloge : la partie logique du circuit se comporte finalement correctement, mais en des temps trop cours pour que l'on puisse l'observer. On émet l'hypothèse que cette gigue\footnote{fluctuation parasite rapide du signal} est le résultat d'un phénomène d'oscillation mécanique lié au bouton poussoir, ce qui qui sera jugée comme vraisemblable par Mr Lebret, professeur d'électronique à l'ENSEIRB-MATMECA. Il s'agit du phénomène de rebonds mécaniques, très courant lorsque l'on utilise de tels boutons.\\
+Les premiers résultats indiquent que le circuit se comporte comme prévu, mais présente sporadiquement une anomalie : la LED clignote très rapidement au relâchement du bouton et indique l'état inverse à l'état attendu. Afin d'étudier le problème, on utilise un analyseur logique qui va enregistrer l'état de plusieurs points du circuit ($H, \overline{H}, Q,\overline{Q}, D_0, \overline{D_0}$)\footnote{$Q$ représente la sortie de la première bascule du circuit de synchronisation.} à une fréquence maximum de $24$ MHz. On effectue la capture en utilisant le logiciel \bsc{PulseView}, faisant partie de la suite d'outils libres Sigrok. Le chronogramme obtenu est reporté en annexe \ref{chronogramme-compteur} et on y observe l'anomalie après $1800$ ms. Un agrandissement de la zone en question, reporté en annexe \ref{chronogramme-compteur-bouton} permet de constater de très rapides oscillations du signal d'horloge : la partie logique du circuit se comporte finalement correctement, mais en des temps trop cours pour que l'on puisse l'observer. On émet l'hypothèse que cette gigue\footnote{fluctuation parasite rapide du signal} est le résultat d'un phénomène d'oscillation mécanique lié au bouton poussoir, ce qui sera jugé comme vraisemblable par M. Lebret, professeur d'électronique à l'ENSEIRB-MATMECA. Il s'agit du phénomène de rebonds mécaniques, très courant lorsque l'on utilise de tels boutons.\\
 
 \subsubsection*{Suppression des rebonds mécaniques}
 
-Afin de supprimer ces rebonds électriques, on met en place un système à base de condensateur et de transistor. Il s'agit d'exploiter le temps de décharge du condensateur, que l'on choisira supérieur à la durée des rebonds, relevés de l'ordre de la milliseconde au maximum (avec l'analyseur logique). On utilise un transistor avec l'émetteur porté à la masse et une résistance de valeur faible ($500$ \ohm) entre le collecteur et la tension positive ($5$ V). On considère que le circuit utilisant l'horloge dispose d'une résistance très grande devant cette valeur de résistance faible (le circuit est réalisé pour satisfaire à cette condition). De fait, dès lors que que le    transistor est bloqué, le signal de sortie correspond à peu près aux $5$ V, soit un état logique haut. Au contraire, dès que le transistor est saturé, le collecteur est porté à la masse à travers l'émetteur (on néglige la tension de la jonction collecteur-émetteur).
+Afin de supprimer ces rebonds électriques, on met en place un système à base de condensateur et de transistor. Il s'agit d'exploiter le temps de décharge du condensateur, que l'on choisira supérieur à la durée des rebonds, relevés de l'ordre de la milliseconde au maximum (avec l'analyseur logique). On utilise un transistor avec l'émetteur porté à la masse et une résistance de valeur faible ($500$ \ohm) entre le collecteur et la tension positive ($5$ V). On considère que le circuit utilisant l'horloge dispose d'une résistance très grande devant cette valeur de résistance faible (le circuit est réalisé pour satisfaire à cette condition). De fait, dès lors que le transistor est bloqué, le signal de sortie correspond à peu près aux $5$ V, soit un état logique haut. Au contraire, dès que le transistor est saturé, le collecteur est porté à la masse à travers l'émetteur (on néglige la tension de la jonction collecteur-émetteur).
 \begin{itemize}
 \item[--] À la mise sous tension (quand le bouton n'est pas pressé), le condensateur se charge au travers des résistances $R1$ et $R3$ : c'est un circuit RC avec $R = R1 + R3 = 8$ k\ohm.\\
 La constante de temps associée à la charge est donc : $\tau_C = C \cdot R = 10 \cdot 10^{-6} \cdot 8 \cdot 10^3 = 80 \cdot 10^{-3} = 80$ ms.\\
index 76605c2..0bcf7d8 100644 (file)
@@ -41,7 +41,7 @@ De manière générale, il n'est pas garanti que ces libertés sont accordés av
 \subsubsection*{Communication entre circuits intégrés}
 
 La communication entre plusieurs circuits intégrés a lieu en reliant des dispositifs d'entrée/sortie entre eux avec des conducteurs (des pistes sur un circuit imprimé ou de simples fils), que l'on pourra appeler lignes. Lorsqu'on peut relier plus que deux appareils sur les mêmes lignes, on parle alors de bus, qui désigne à la fois l'ensemble des lignes reliant les points d'entrée/sortie et de manière plus générale, l'ensemble du système de communication.\\
-Des informations vont alors être échangées au travers de ces conducteurs, le plus généralement\footnote{Certaines normes de transmision utilisent d'autres modes de communication, tels que le LVDS pour Low Voltage Differential Signaling en Anglais ou  transmission différentielle basse-tension en Français, que l'on n'abordera pas en détail.} sous forme numérique : il s'agira de bits, dont les valeurs traduisent des états logiques qui sont physiquement caractérisés par certaines tensions\footnote{Ces concepts sont détaillés dans la partie \ref{systemes-logiques}}. Le potentiel de référence utilisé pour la mesure des tensions devra donc être commun entre les deux circuits : chaque bus de données contiendra alors généralement une ligne dédié à la mise en commun de la masse.\\
+Des informations vont alors être échangées au travers de ces conducteurs, le plus généralement\footnote{Certaines normes de transmission utilisent d'autres modes de communication, tels que le LVDS pour Low Voltage Differential Signaling en Anglais ou  transmission différentielle basse-tension en Français, que l'on n'abordera pas en détail.} sous forme numérique : il s'agira de bits, dont les valeurs traduisent des états logiques qui sont physiquement caractérisés par certaines tensions\footnote{Ces concepts sont détaillés dans la partie \ref{systemes-logiques}}. Le potentiel de référence utilisé pour la mesure des tensions devra donc être commun entre les deux circuits : chaque bus de données contiendra alors généralement une ligne dédié à la mise en commun de la masse.\\
 
 L'échange de données proprement dit consistera en une alternance de lectures et d'écritures sur le bus de communication. Plus précisément, un bit sera émis par un des circuits intégrés quand l'état logique est forcé par ce circuit. Il est alors nécessaire que le circuit intégré souhaitant recevoir l'information « lise » l'état logique d'une ligne, c'est à dire qu'il relève cet état logique sans l'influencer. On parlera alors d'un troisième état pour le circuit, dit état déconnecté ou de haute impédance\footnote{On parle d'impédance comme équivalent complexe de la résistance, dans le cas de variations sinusoïdales des grandeurs.} (hi-Z)\footnote{Le symbole Z représente l'impédance et le préfixe hi signifie high en Anglais, soit haut en Français}. Cet état correspondra à une forte résistance entre le point considéré et la masse, qui ne perturbe alors pas la tension appliquée en ce point par un circuit externe. Ainsi, en état hi-Z, il sera possible pour le circuit recevant l'information de relever l'état logique de la ligne sans le changer.\\
 
index b5ccd34..7e980db 100644 (file)
@@ -28,7 +28,7 @@ title={NE555},
 note={https://fr.wikipedia.org/wiki/NE555}
 }
 
-@misc{Multivib,
+@misc{multivibrateur,
 author={MongoSukulu},
 title={Les multivibrateurs},
 note={http://www.mongosukulu.com/index.php/en/contenu/genie-electrique4/electronique/542-les-multivibrateurs?showall=\&start=1}
@@ -40,8 +40,6 @@ title={Liste des circuits intégrés de la série 7400},
 note={https://fr.wikipedia.org/wiki/Liste\_des\_circuits\_intégrés\_de\_la\_série\_7400}
 }
 
-
-
 @book{Tocci,
 title={Circuits numériques : théorie et applications},
 author={Tocci, R.J.},
index 8c0521b..a8b0a66 100644 (file)
@@ -182,7 +182,7 @@ On va présenter quelques-uns de ces circuits de façon globale, et un autre fer
 
 Le premier montage est un multivibrateur dont le fonctionnement est basé sur le comportement d'un \emph{trigger de Schmitt} (ou comparateur à \emph{hystérésis}). On peut observer le schéma de ce circuit sur la figure \ref{trigger-schmitt}. L'élément principal utilisé est une \emph{bascule de Schmitt}, un composant logique qui fonctionne avec un amplificateur opérationnel (AOP). On se restreint à l'étude du circuit compte tenu du comportement de la \emph{bascule de Schmitt} pour comprendre le fonctionnement de l'oscillateur. Cette bascule est alimentée par une tension continue et ne possède une entrée (de tension à la masse notée $U_e$) et une sortie (de tension à la masse notée $U_s$) ne pouvant prendre que deux valeurs de tension : la valeur $V_+$ de l'alimentation et le $0$ V. C'est une conséquence du fonctionnement de l'AOP interne à la \emph{bascule de Schmitt} en régime saturé.\\
 
-Ce montage est caractérisé par deux tensions de seuil que l'on peut appeler $U_+$ et $U_-$ ($U_- < U_+$). Son comportement est basé sur un cycle d'hystérésis, l'hystérésis étant la capacité d'un système à rester dans un état après que la cause qui l'y a amené a disparu. On peut voir le cycle d'hystérésis formé par la bascule sur la figure \ref{schema_hysteresis}. Les tensions seuils correspondent à des tensions de basculement irréversible de la valeur de sortie. On imagine que la tension d'entrée est inférieure à $U_+$ et est croissante, la tensions $U_s$ de sortie est alors à $V_+$, mais à partir du moment où $U_e$ atteint la valeur $U_+$, $U_s$ bascule vers $0$ V. C'est un action irréversible dans le sens où à ce moment-là, si $U_e$ repasse par $U_+$ alors il ne se passe rien ; il faut que $U_e$ atteigne la valeur $U_-$ pour que $U_s$ change à nouveau de valeur.\\
+Ce montage est caractérisé par deux tensions de seuil que l'on peut appeler $U_+$ et $U_-$ ($U_- < U_+$). Son comportement est basé sur un cycle d'hystérésis, l'hystérésis étant la capacité d'un système à rester dans un état après que la cause qui l'y a amené a disparu. On peut voir le cycle d'hystérésis formé par la bascule sur la figure \ref{schema_hysteresis}. Les tensions seuils correspondent à des tensions de basculement irréversible de la valeur de sortie. On imagine que la tension d'entrée est inférieure à $U_+$ et est croissante, la tension $U_s$ de sortie est alors à $V_+$, mais à partir du moment où $U_e$ atteint la valeur $U_+$, $U_s$ bascule vers $0$ V. C'est un action irréversible dans le sens où à ce moment-là, si $U_e$ repasse par $U_+$ alors il ne se passe rien ; il faut que $U_e$ atteigne la valeur $U_-$ pour que $U_s$ change à nouveau de valeur.\\
 
 \begin{figure}[h]
 \begin{center}
@@ -234,15 +234,13 @@ Le condensateur $C_2$ est essentiellement présent pour stabiliser la tension in
 
 Afin de bien comprendre le principe de fonctionnement de ces différents circuits nous avons réalisé un \emph{multivibrateur astable}. Le montage que nous avons choisi est celui le plus basique pour la compréhension de tels circuits. Il est inspiré du multivibrateur inventé par Abraham et Bloch au début du siècle dernier, considéré comme « l'ancêtre » des générateurs de signaux périodiques carrés. Ce multivibrateur est dit \emph{astable} car il ne présente pas d'état stable : il oscille sans cesse entre deux états instables.\\
 
-De façon simplifiée, on peut donner une première explication du fonctionnement de ce circuit. Les éléments essentiels sont deux condensateurs ainsi que deux transistors utilisés en commutation. Quand le circuit est dans un \emph{régime permanent}\footnote{Le régime permanent est le régime atteint après le régime transitoire, qui correspond généralement à la mise sous tension du circuit. Dans cet état les variables physiques ne dépendent alors plus du temps : le fonctionnement du circuit est établi et ne varie pas.} un des deux transistors est saturé et l'autre est passant, permettant ainsi à un des condensateurs de se charger, tandis que l'autre se charge en inverse jusqu'à faire commuter les transistors. Le comportement des condensateurs est symétrique, ce qui permet d'entretenir des cycles.
-
 \subsubsection*{Étude théorique}
 
 On va donc étudier analytiquement ce circuit, dont le schéma est donné en figure \ref{multivibrateur-schema}.\\
 
 \begin{figure}[!h]
 \centering
-\includegraphics[width=\textwidth/2]{multivibrateur.png}
+\includegraphics[width=\textwidth/2]{multivibrateur-schema.png}
 \caption{Schéma du montage}
 \label{multivibrateur-schema}
 \end{figure}\\
@@ -251,107 +249,82 @@ On introduit les notations suivantes pour la compréhension du développement ma
 \begin{itemize}
 \item[--] $V_+=5$ V : le circuit est alimenté par une tension continue $V_+$.
 \item[--] $\theta=0.7$ V : c'est la tension seuil entre la base et l'émetteur des transistors, au-delà de cette valeur les transistors deviennent passants.
-\item[--] $u_1$ et $u_2$ sont des fonctions temporelles représentant les tensions aux bornes des condensateurs $C_1$ et $C_2$ respectivement.
+\item[--] $U_1$ et $U_2$ sont des fonctions temporelles représentant les tensions aux bornes des condensateurs $C_1$ et $C_2$ respectivement.
 \item[--] $U_{R_i}$ correspond à la tension aux bornes de la résistance $R_i$ dans la convention récepteur ($i\in\llbracket 1,4\rrbracket$).
 \end{itemize}\\
 
-Comme on cherche à générer un signal périodique carré, on va également faire les hypothèses\label{mv_hypotheses} suivantes :
+Comme on cherche à générer un signal périodique carré, on va également faire les hypothèses\label{multivibrateur-hypotheses} suivantes :
 \begin{enumerate}
        \item $R_1=R_4$ et $R_3=R_2$
        \item $R_1$ est négligeable devant $R_2$ (et donc $R_4 \ll R_3$)
        \item $C_1=C_2$
 \end{enumerate}\\
 
-Ces choix sont dépendants des caractéristiques souhaitées pour notre signal périodique, et ils seront justifiés \textit{a posteriori}.\\
-
-À la mise sous tension, les deux condensateurs $C_1$ et $C_2$ se chargent rapidement à travers les résistances $R_1$ et $R_4$ respectivement, le circuit étant bien relié à la masse par l'intermédiaire des jonctions \og base-émetteur\fg{} des transistors. Ces derniers tendent à se saturer, cependant un des deux va saturer avant l'autre, ce qui va permettre de déclencher le mécanisme oscillant\textsuperscript{\cite{Multivib}}. C'est le régime transitoire qui ne dure que quelques infimes instants. On considère l'origine des temps au début du régime permanent et on va faire l'hypothèse que le transistor $Q_1$ est saturé tandis que $Q_2$ est bloquant à $t=0$. Ceci entraîne que $U_{BE_1}=\theta$ et $U_{CE_1}\approx 0$ V (respectivement la tension entre base et émetteur ainsi qu'entre collecteur et émetteur du transistor $Q_1$). À l'instant $t=0$ chaque condensateur possède une certaine charge, ainsi les conditions initiales sont :
-\[
-\left \{
-\begin{array}{l}
-       u_1(0) = V_+-\theta \\
-       u_2(0) = -\theta \\
-\end{array}
-\right.
-\]\\
+Ces choix sont dépendants des caractéristiques souhaitées pour notre signal périodique et ils seront justifiés \textit{a posteriori}.\\
 
-Grâce à la méthode des mailles on obtient trois équation permettant de déterminer les lois temporelles des tensions suivantes : $u_1$, $u_2$ et $U_{BE_2}$ (tension de la jonction \og base-émetteur\fg{} du transistor $Q_2$). En effet, $Q_1$ étant passant on a : \\
+À la mise sous tension, les deux condensateurs $C_1$ et $C_2$ se chargent rapidement au travers des résistances $R_1$ et $R_4$ respectivement, le circuit étant bien relié à la masse par l'intermédiaire des jonctions base-émetteur des transistors. Ces derniers tendent à saturer et un des deux va saturer avant l'autre, ce qui va permettre de déclencher le mécanisme oscillant\notecite{multivibrateur}. On considère l'origine des temps au moment où ce transistor devient passant et on va faire l'hypothèse que c'est le transistor $Q_1$ est saturé tandis que $Q_2$ est bloquant à $t=0$. Ceci entraîne que $U_{BE_1}=\theta$ et $U_{CE_1}\approx 0$ V (respectivement la tension entre base et émetteur ainsi qu'entre collecteur et émetteur du transistor $Q_1$). À l'instant $t=0$ chaque condensateur possède une certaine charge, ainsi les conditions initiales sont :
+$$\left \{
+\begin{align}
+U_1(t=0) &= V_+-\theta \\
+U_2(t=0) &= -\theta
+\end{align}$$
 
+Grâce à la méthode des mailles on obtient trois équations permettant de déterminer l'évolution temporelle des tensions suivantes : $U_1$, $U_2$ et $U_{BE_2}$ (tension de la jonction base-émetteur du transistor $Q_2$). En effet, $Q_1$ étant passant on a :
 \begin{eqnarray}
 \label{eq:1}
-u_1(t)+U_{BE_2}(t)-U_{CE_1}(t) &=& 0 \\ 
+U_1(t)+U_{BE_2}(t)-U_{CE_1}(t) &=& 0 \\
 \label{eq:2}
-U_{R_3}(t)-U_{R_4}(t)-u_2(t) &=& 0 \\
+U_{R_3}(t)-U_{R_4}(t)-U_2(t) &=& 0 \\
 \label{eq:3}
-U_{R_2}(t)-U_{R_1}(t)-u_1(t) &=& 0
-\end{eqnarray}\\
+U_{R_2}(t)-U_{R_1}(t)-U_1(t) &=& 0
+\end{eqnarray}
 
-Cependant on sait que $U_{R_3}=V_+-U_{BE_1}=V_+-\theta$. De plus dans la valeur du courant circulant dans la résistance est $C_2\derivd[]{u_2}{t}(t)$ d'après la loi d'un condensateur idéal, ainsi en utilisant la loi d'\bsc{ohm} : $U_{R_4}(t)=R_4C_2\derivd[]{u_2}{t}(t)$. En reportant dans l'équation \eqref{eq:2} on obtient l'équation différentielle suivante :
-\[
-u_2(t)+R_4C_2\derivd[]{u_2}{t}(t)=V_+-\theta
-\]
-En résolvant cette équation à l'aide des conditions initiales et en posant $\tau_2=R_4C_2$ on obtient l'expression cherchée de $u_2$ :
-\[
-u_2(t)=V_+(1-\e{-\frac{t}{\tau_2}})-\theta
-\]\\
+Cependant on sait que $U_{R_3}=V_+-U_{BE_1}=V_+-\theta$. De plus la valeur du courant circulant dans la résistance est $C_2\derivd[]{U_2}{t}(t)$ d'après la loi d'un condensateur idéal, ainsi en utilisant la \emph{loi d'Ohm} : $U_{R_4}(t)=R_4C_2\derivd[]{U_2}{t}(t)$. En reportant dans l'équation \eqref{eq:2} on obtient l'équation différentielle suivante :
+$$U_2(t)+R_4C_2\derivd[]{U_2}{t}(t)=V_+-\theta$$
+
+En résolvant cette équation à l'aide des conditions initiales et en posant $\tau_2=R_4C_2$ on obtient l'expression de $U_2$ :
+$$U_2(t)=V_+(1-\e{-\frac{t}{\tau_2}})-\theta$$
 
 En raisonnant de façon similaire sur l'équation \eqref{eq:3} on est amené à résoudre l'équation différentielle suivante :
-\[
-u_1(t)+R_2C_1\derivd[]{u_1}{t}(t)=-V_+
-\]
+$$U_1(t)+R_2C_1\derivd[]{U_1}{t}(t)=-V_+$$
+
 Le second membre est issu du fait que $U_{CE_1}=0$ V, en effet de cette façon le point $A$ est relié à la masse, donc $U_{R_1}=V_+$.
 On pose $\tau_1=R_2C_1$ et on résout l'équation à l'aide des conditions initiales :
-\[
-u_1(t)=(2V_+-\theta)(\e{-\frac{t}{\tau_1}}-1)+V_+-\theta
-\]\\
+$$U_1(t)=(2V_+-\theta)(\e{-\frac{t}{\tau_1}}-1)+V_+-\theta$$
+
+L'équation \eqref{eq:1} peut se simplifier du fait que $U_{CE_1}=0$ V et on a $U_{BE_2}(t)=-U_1(t)$. Le transistor $Q_2$ va commuter et devenir passant à partir du moment où $U_{BE_2}=\theta$. Pour déterminer la valeur temporelle $T_1$ qui correspond à cette commutation on doit donc résoudre : 
+$$U_1(T_1)=-\theta\ \Leftrightarrow\ (2V_+-\theta)(\e{-\frac{T_1}{\tau_1}}-1)+V_+-\theta=-\theta$$
 
-L'équation \eqref{eq:1} peut se simplifier du fait que $U_{CE_1}=0$ V, on a : $U_{BE_2}(t)=-u_1(t)$. Le transistor $Q_2$ va commuter et devenir passant à partir du moment où $U_{BE_2}=\theta$. Pour déterminer la valeur temporelle $T_1$ correspondant à cette commutation on doit donc résoudre : 
-\[
-       u_1(T_1)=-\theta\
-       \Leftrightarrow\ (2V_+-\theta)(\e{-\frac{T_1}{\tau_1}}-1)+V_+-\theta=-\theta
-\]
 C'est-à-dire :
-\[
-       \e{-\frac{T_1}{\tau_1}}=\frac{V_+-\theta}{2V_+-\theta}\
-       \Leftrightarrow\ -\frac{T_1}{\tau_1}=\ln(\frac{V_+-\theta}{2V_+-\theta})\
-       \Leftrightarrow\ T_1=-\tau_1\ln(\frac{V_+-\theta}{2V_+-\theta})
-\]\\
+$$\e{-\frac{T_1}{\tau_1}}=\frac{V_+-\theta}{2V_+-\theta}\ \Leftrightarrow\ -\frac{T_1}{\tau_1}=\ln(\frac{V_+-\theta}{2V_+-\theta})\ \Leftrightarrow\ T_1=-\tau_1\ln(\frac{V_+-\theta}{2V_+-\theta})$$
 
 On a donc $T_1=\lambda\tau_1$, où $\lambda=-\ln(\frac{V_+-\theta}{2V_+-\theta})$.\\
 
-Ainsi à $t=T_1$, comme $Q_2$ devient passant et on a $U_{BE_2}=\theta$ et $U_{CE_2}\approx 0$ V. De cette façon le point B est mis à la masse, ce qui implique que $U_{BE_1}(t)=-u_2(t)$ (pour $t\geq T_1$). Or $u_2(T_1)>0$, donc le transistor $Q_2$ se bloque.
+Ainsi à $t=T_1$ comme $Q_2$ devient passant, on a $U_{BE_2}=\theta$ et $U_{CE_2}\approx 0$ V. De cette façon le point B est mis à la masse, ce qui implique que $U_{BE_1}(t)=-U_2(t)$ (pour $t\geq T_1$). Or $U_2(t=T_1)>0$, donc le transistor $Q_2$ se bloque.
 La situation étant \og inversée\fg{}, on peut analyser le circuit pour $t\geq T_1$ de la même façon que précédemment ; cependant il nous faut connaître les nouvelles conditions initiales. \\
 
 D'après la seconde hypothèse faite au début on a $R_4 \ll R_2$, ce qui implique que le rapport $\frac{T_1}{\tau_2}$ peut se simplifier :
-\[
-\frac{T_1}{\tau_2}=\lambda\frac{\tau_1}{\tau2}=\lambda\frac{R_2C_1}{R_4C_2}=\lambda\frac{R_2}{R_4}\gg 1
-\]
-On obtient ainsi $u_2(T_1)\approx V_+-\theta$. Les nouvelles conditions initiales sont :
-\[
-\left \{
-\begin{array}{l}
-       u_1(T_1) = -\theta \\
-       u_2(T_2) = V_+-\theta \\
-\end{array}
-\right.
-\]\\
-
-On peut obtenir les expressions de $u_1$ et $u_2$ pour des temps supérieurs à $T_1$ en raisonnant de la même façon que précédemment, les résultats sont :
-\[
-\left \{
-\begin{array}{l}
-       u_1(t) = V_+(1-\e{\frac{T_1-t}{\tau_3}})-\theta \\
-       u_2(t) = (2V_+-\theta)(\e{\frac{T_1-t}{\tau_4}}-1)+V_+-\theta
-\end{array}
-\right.
-\]
+$$\frac{T_1}{\tau_2}=\lambda\frac{\tau_1}{\tau2}=\lambda\frac{R_2C_1}{R_4C_2}=\lambda\frac{R_2}{R_4}\gg 1$$
+
+On obtient ainsi $U_2(T_1)\approx V_+-\theta$. Les nouvelles conditions initiales sont :
+$$\left \{
+\begin{align}
+U_1(t=T_1) &= -\theta \\
+U_2(t=T_2) &= V_+-\theta
+\end{align}$$
+
+On peut obtenir les expressions de $U_1$ et $U_2$ pour des temps supérieurs à $T_1$ en raisonnant de la même façon que précédemment, les résultats sont :
+$$\left \{
+\begin{align}
+U_1(t) &= V_+(1-\e{\frac{T_1-t}{\tau_3}})-\theta \\
+U_2(t) &= (2V_+-\theta)(\e{\frac{T_1-t}{\tau_4}}-1)+V_+-\theta
+\end{align}$$
 avec $\tau_3=R_1C_1$ et $\tau_4=R_3C_2$.\\
 
-Au bout d'un certain temps $T_2$, quand $U_{BE_1}(T_1+T_2)=\theta$, le transistor $Q_1$ commute de nouveau, entraînant le blocage de $Q_2$. On finit ainsi un cycle, car à $t=T_1+T_2$ on se retrouve dans la situation initiale. Par similitude avec les équations précédentes on peut déterminer la valeur de $T_2$ :
-\[
-T_2=\lambda R_3C_2
-\]\\
+Au bout d'un certain temps $T_2$, quand $U_{BE_1}(t=T_1+T_2)=\theta$, le transistor $Q_1$ commute de nouveau, entraînant le blocage de $Q_2$. On finit ainsi un cycle, car à $t=T_1+T_2$ on se retrouve dans la situation initiale. Par similitude avec les équations précédentes on peut déterminer la valeur de $T_2$ :
+$$T_2=\lambda R_3C_2$$
 
-Les tensions $u_1$ et $u_2$ sont donc des fonctions périodiques. La sortie qui nous intéresse n'est pas la tensions aux bornes d'un des condensateurs car la décharge du condensateur n'est pas assez rapide pour modéliser un signal périodique carré propre. On prend donc en sortie la tension au point $A$ ou $B$. Considérons par exemple la tension en B (qu'on note $u_B$), celle-ci vaut $u_2(t)+\theta$ quand $Q_1$ est passant et vaut $0$ V quand $Q_2$ est saturé. On peut visualiser sur la figure \ref{mv_sortie_B} la courbe représentative de cette tension.\\
+Les tensions $U_1$ et $U_2$ sont donc des fonctions périodiques. La sortie qui nous intéresse n'est pas la tension aux bornes d'un des condensateurs car la décharge du condensateur n'est pas assez rapide pour modéliser un signal périodique carré propre. On prend donc en sortie la tension du point $A$ ou $B$ avec la masse. Considérons par exemple la tension en B (qu'on note $U_B$), celle-ci vaut $U_2(t)+\theta$ quand $Q_1$ est passant et vaut $0$ V quand $Q_2$ est saturé. On peut visualiser sur la figure \ref{multivibrateur-sortie-b} la courbe représentant cette tension.\\
 
 \begin{figure}[!h]
 \hspace{5ex}
@@ -380,8 +353,8 @@ Les tensions $u_1$ et $u_2$ sont donc des fonctions périodiques. La sortie qui
 }
 \draw[domain=0:1.5, color=red, samples=100] plot (\x+5,5*(1-exp(-\x/0.05)));
 \end{tikzpicture}
-\caption{Évolution de la tension $u_B$ dans le temps}
-\label{mv_sortie_B}
+\caption{Évolution de la tension $U_B$ dans le temps}
+\label{multivibrateur-sortie-b}
 \end{center}
 \end{minipage}
 \hfill
@@ -411,44 +384,40 @@ Les tensions $u_1$ et $u_2$ sont donc des fonctions périodiques. La sortie qui
 \draw (0,1)[<->, color=gray] -- (1.5,1) node[midway, above]{$T_1$}; 
 \draw (1.5,1)[<->, color=gray] -- (2.5,1) node[midway, above]{$T_2$}; 
 \end{tikzpicture}
-\caption{Signale périodique carré en sortie}
+\caption{Signal périodique carré en sortie}
 \label{signal-carre}
 \end{center}
 \end{minipage}
 \hspace{5ex}
 \end{figure}
 
-On observe que le signal n'est pas vraiment carré, c'est pour s'en approcher au mieux qu'on a fait la seconde hypothèse\footnote{Voir page \pageref{mv_hypotheses}.}. Le fait que $R_4 \ll R_2$\footnote{Les résistances $R_2$ et $R_3$ doivent de toute façon être élevées afin de protéger les bases des transistors d'une intensité trop importante qui les détruirait.} permet d'obtenir un temps caractéristique $\tau_2$ négligeable devant $T_1$. Cela se traduit par une charge très rapide du condensateur, dès lors que $Q_1$ devient passant, et donc $u_B$ atteint très rapidement sa valeur maximale $V_+$. Le signal périodique carré idéal créé par ce multivibrateur est présenté sur la figure \ref{signal-carre}.\\
+On observe que le signal n'est pas vraiment carré, c'est pour s'en approcher au mieux qu'on a fait la seconde hypothèse\footnote{Voir page \pageref{multivibrateur-hypotheses}.}. Le fait que $R_4 \ll R_2$ permet\footnote{Les résistances $R_2$ et $R_3$ doivent de toute façon être élevées afin de protéger les bases des transistors d'une intensité trop importante qui les détruirait.} d'obtenir un temps caractéristique $\tau_2$ négligeable devant $T_1$. Cela se traduit par une charge très rapide du condensateur dès que $Q_1$ devient passant et donc $U_B$ atteint très rapidement sa valeur maximale $V_+$. Le signal périodique carré idéal créé par ce multivibrateur est présenté sur la figure \ref{signal-carre}.\\
 
-Le temps \emph{haut} (tension de $5V$) du signal carré dure $T_1$ tandis que le temps \emph{bas} dure $T_2$. C'est en vue d'obtenir un rapport cyclique de $\frac{1}{2}$ qu'on a fait la première et troisième hypothèse, en effet on obtient ainsi : $T_1=T_2$.\\
+Le temps \emph{haut} du signal carré dure $T_1$ tandis que le temps \emph{bas} dure $T_2$. C'est en vue d'obtenir un rapport cyclique de $\frac{1}{2}$ qu'on a fait la première et troisième hypothèse, en effet on obtient ainsi $T_1=T_2$.\\
 
 La période du signal carré de sortie ne dépend que des paramètres choisis pour le montage :
-\[
-       T=T_1+T_2=-\ln(\frac{V_+-\theta}{2V_+-\theta})(R_2C_1+R_3C_2)
-\]
+$$T=T_1+T_2=-\ln(\frac{V_+-\theta}{2V_+-\theta})(R_2C_1+R_3C_2)$$
 
 \subsubsection*{Expérimentation}
 
 Nous avons réalisé le montage de ce multivibrateur avec les paramètres suivant :
 \begin{itemize}
-       \item[--] $R_1=R_4=100$ \ohm
-       \item[--] $R_2=R_3=5.4$ k\ohm
-       \item[--] $C_1=C_2=120$ \microf
+\item[--] $R_1=R_4=100$ \ohm
+\item[--] $R_2=R_3=5.4$ k\ohm
+\item[--] $C_1=C_2=120$ \microf \\
 \end{itemize}
 
-Ce qui nous amène à une période théorique de $T\approx 1$ s, c'est-à-dire que notre signal a une fréquence théorique de $1$ Hz.\\
+Ce qui nous amène à une période théorique de $T\approx 1$ s, c'est-à-dire que notre signal a une fréquence théorique de 1 Hz.\\
 
-Dans un premier temps nous nous sommes servis de LEDs en sortie de façon à observer un clignotement régulier à la fréquence souhaitée. Par la suite, à l'aide d'un analyseur logique nous avons pu obtenir un chronogramme du signal carré (visible sur la figure \ref{mv_chrono}). L'analyseur logique permet de relever des tensions \og tout ou rien\fg{} en n'importe quel point du circuit, c'est-à-dire qu'il relève l'état logique\footnote{Le concept d'état logique est détaillée dans la partie \ref{systemes-logiques}.} d'un point du circuit à tout instant (la fréquence d'échantillonnage\footnote{Il s'agit de la fréquence avec laquelle l'état logique de chaque point du circuit est relevé.} pouvant être très élevée), c'est pour cette raison qu'il est très utilisé en électronique numérique. Une photographie du montage complet est reportée en annexe \ref{mv_photo}\\
+Dans un premier temps nous nous sommes servis de LEDs en sortie de façon à observer un clignotement régulier à la fréquence souhaitée. Par la suite, à l'aide d'un analyseur logique nous avons pu obtenir un chronogramme du signal carré (visible sur la figure \ref{multivibrateur-chronogramme}). L'analyseur logique permet de relever des seuils hauts et bas de tension en n'importe quel point du circuit, c'est-à-dire qu'il relève l'état logique\notepartie{systemes-logiques} d'un point du circuit à chaque instant (la fréquence d'échantillonnage\footnote{Il s'agit de la fréquence avec laquelle l'état logique de chaque point du circuit est relevé.} pouvant être très élevée), c'est pour cette raison qu'il est très utilisé en électronique numérique. Une photographie du montage complet est reportée en annexe \ref{multivibrateur-photo}.\\
 
 \begin{figure}[!h]
-\includegraphics[width=\columnwidth]{chronogramme-multivibrateur.png}
+\includegraphics[width=\columnwidth]{multivibrateur-chronogramme.png}
 \caption{Chronogramme de la tension de sortie $u_B$ : signal périodique carré}
-\label{mv_chrono}
+\label{multivibrateur-chronogramme}
 \end{figure}
 
-On a pu observer sur ce chronogramme que le signal de sortie était tel que souhaité : périodique carré de rapport cyclique $\frac{1}{2}$. Cependant la valeur expérimentale de la période est différente de la théorique, il y a un facteur d'environ $\frac{2}{3}$ entre les deux valeurs. En essayant avec différentes valeurs de résistances et condensateurs on a pu observer une différence similaire avec les attentes théoriques.
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+On a pu observer sur ce chronogramme que le signal de sortie était tel que souhaité : périodique carré de rapport cyclique $\frac{1}{2}$. Cependant la valeur expérimentale de la période est différente de la théorique : on trouve en effet un facteur d'environ $\frac{2}{3}$ entre les deux valeurs. En essayant avec différentes valeurs de résistances et condensateurs on a pu observer une différence similaire avec les attentes théoriques. En effet, les valeurs réelles des composants ne sont pas exactement les valeurs indiquées, d'autant qu'elles peuvent se dégrader avec le temps (par exemple, un condensateur peut perdre de sa charge après un certain temps d'utilisation). Les composants utilisés ne sont d'ailleurs pas tous neufs : une grande partie provient de récupération sur des circuits quelconques. Ainsi, l'écart entre les valeurs réelles des composants et les valeurs utilisées pour le calcul de $T$ peuvent expliquer ce décalage entre la théorie et l'expérimentation.
 
 \subsection{Exemples d'utilisations dans un système réel}